Problemi con le frazioni seconda media con soluzioni

Cominciamo con l’esame dei problemi diretti che riguardano il calcolo del valore della frazione di un numero. Vediamo questo esempio: i ciclisti hanno già percorso i 3/5 di una tappa lunga 215 km. Quanti km hanno già percorso?

In questo problema dobbiamo operare sul numero 215 con la frazione 3/5, perciò dobbiamo dividere 215 per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore.

(215 : 5) x 3

Si ottiene lo stesso risultato moltiplicando il numero dato per la frazione

Vediamo ora i problemi di tipo inverso nei quali, conosciuto il valore di una frazione di un numero, occorre calcolare quel numero.

Vediamo un esempio: in un teatro sono occupati dagli spettatori i 3/5 dei posti, cioè 252 posti. Quanti sono tutti i posti del teatro?

Rappresentiamo il numero da trovare con un segmento e su di esso individuiamo i 3/5 corrispondenti a 252 posti.

Dividendo 252 in 3 parti troviamo il valore di 1/5.

Moltiplicando il risultato per 5 troviamo il valore di 5/5, cioè il numero dei posti del teatro.

(252 : 3) x 5 = 420

Abbiamo diviso per il numeratore e moltiplicato il risultato per il denominatore.

Si ottiene lo stesso risultato dividendo il numero dato per la frazione

Consideriamo ora i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro somma e che uno è una frazione data dell’altro.

Vediamo un esempio: Luigi compie un viaggio percorrendo in totale 2600 km. Sapendo che i km che ha percorso in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, quanti chilometri ha percorso con ciascuno dei due mezzi di trasporto?

Se i chilometri percorsi in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, questi ultimi saranno i 5/5. Rappresentiamo graficamente.

Vediamo che la somma è rappresentata da 8 segmenti uguali, ciascuno dei quali è 1/8 di 2600, per cui:

(2600 : 8) x 3 = 975 km

(2600 : 8) x 5 = 1 625 km

Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la somma per la somma tra numeratore e denominatore della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.

Vediamo infine i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro differenza e che uno è una frazione data dell’altro.

Vediamo un esempio: In un parcheggio il numero dei posti per le auto è i 5/2 del numero dei posti per i camper. Se il numero dei posti per le auto supera di 30 unità il numero dei posti per i camper, quale sarà rispettivamente il numero dei posti per le auto e quello dei posti per i camper?

Se i posti per le auto sono i 5/2 dei posti per i camper, questi ultimi saranno i 2/2. Rappresentiamo graficamente.

Vediamo che la differenza è formata da 3  parti uguali, ciascuna delle quali è 1/3 di 30, per cui:

(30 : 3) x 2 = 20 posti per i camper

(30: 3) x 5 = 50 posti per le auto

Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la differenza per la differenza tra i termini della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.

ESERCIZI

·        L’età di Marco è i 3/7 di quella del padre che ha 42 anni. Quanti anni ha Marco?

·        In una classe di 25 alunni i 3/5 sono maschi, i 2/5 delle ragazze hanno gli occhiali. Quante sono le ragazze senza occhiali?

·        Il papà di Luca ha uno stipendio mensile di € 1 660. Se ogni mese spende i 2/5 per l’affitto ed i 2/3 di ciò che rimane per il vitto, quanto gli rimane per le altre spese?

·        Per l’acquisto di un appartamento la famiglia di Giorgio versa come acconto € 45 000, corrispondenti ai 3/14 del prezzo totale. Quanto costa l’appartamento?

·        In una teatro vi sono 255 posti in platea, che rappresentano i 5/7 di tutti i posti del teatro. Se sono occupati da spettatori i 4/7 di tutti i posti del teatro, quanti sono i posti rimasti liberi?

·        In un terreno sono stati piantati complessivamente 234 alberi, tra peschi ed albicocchi. Se gli albicocchi sono i 5/8 dei peschi, quanti sono rispettivamente gli alberi di pesco e di albicocco?

·        Tra Giorgio e Luca ci sono 15 anni di differenza. L’età di Giorgio è i 5/2 di quella di Luca. Quanti anni hanno rispettivamente Giorgio e Luca?

·        Il segmento AB misura 18 cm ed è pari ai 3/7 del segmento CD. Quale sarà la lunghezza di un altro segmento EF pari ai 5/6 della differenza fra le lunghezze dei segmenti AB e CD?

Come si risolve il problema con le frazioni?

Come si fa a capire se il problema e inverso o diretto?