Come calcolare la superficie totale di un cubo

Il più comune e probabilmente il più famoso dei solidi platonici è il cubo. Possiamo definire questo solido come un prisma retto con base quadrata e altezza pari allo spigolo della base. Stiamo quindi considerando un caso particolare di prisma regolare: per questo motivo questo solido si può anche chiamare esaedro regolare. Il prefisso “esa-” deriva dal greco, e sta a significare che questo solido presenta $6$ facce.
Come possiamo vedere in figura, un cubo è costituito da:

• $8$ vertici;
• $12$ spigoli, tutti congruenti fra loro (spesso infatti ci si riferisce a “lo spigolo” del cubo, considerandone uno qualsiasi);
• $6$ facce, che sono tutti quadrati con lo stesso lato (e quindi congruenti).

Possiamo individuare all’interno del cubo $4$ diagonali, anch’esse congruenti fra loro.

Formule per il cubo

Esistono molte formule utili per il cubo, grazie alle quali possiamo ricavare il valore delle grandezze a esso relative.

La maggior parte di queste formule contiene al suo interno la misura $L$ dello spigolo del cubo, ma vedremo che è possibile ricavare anche altre formule a partire dalla misura di una diagonale $d$.

Relazioni tra diagonale e lato: $$d = \sqrt{3}L \qquad \text{oppure} \qquad L = \frac{d}{\sqrt{3}} $$

Volume: $$V = L^3 \qquad \text{oppure} \qquad V = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}$$Dall’ultima formula si deduce che un cubo ha lo stesso volume di una piramide regolare a base quadrata, con lato del quadrato congruenti alla diagonale $d$ del cubo e altezza pari al lato $L = \frac{d}{\sqrt{3}}$ del cubo.

Superficie di base: La base di un cubo è sempre un quadrato di lato $L$, in qualunque modo si scelga di orientare il solido; quindi: $$A_{base} = L^2 \qquad \text{oppure} \qquad A_{base} = \frac{d^2}{3}$$

Superficie laterale: La superficie laterale di un cubo è sempre costituita da quattro quadrati di ugual lato $L$: quindi $$S_{lat} = 4 L^2 \qquad \text{oppure} \qquad S_{lat} = \frac{4}{3}d^2$$

Superficie totale: Ciascuna delle sei facce di un cubo è un quadrato di lato $L$, e quindi: $$S_{tot} = 6L^2 \qquad \text{oppure} \qquad S_{tot} = 2d^2 $$

Sottolineiamo che altre formule possono essere ricavate invertendo le formule che abbiamo appena visto. Per esempio, se conosciamo il valore della superficie totale del cubo, possiamo ricavare lato e diagonale in questo modo: $$L = \sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}, \qquad d = \sqrt{\frac{S_{tot}}{2}}.$$

Proprietà del cubo

L’esaedro regolare possiede le seguenti proprietà geometriche.

• Possiamo definire il cubo come un parallelepipedo rettangolo che abbia come facce quadrati con lo stesso lato. Pertanto, in corrispondenza di ciascun vertice del cubo si incontrano tre facce tra loro perpendicolari.
• Il cubo è l’unico solido regolare con cui si può riempire lo spazio tridimensionale senza lasciare “buchi” tra un solido e l’altro.
• È l’unico solido platonico ad avere facce con un numero pari di lati (essendo le sue facce tutti quadrati, ciascuna faccia ha $4$ lati).

Tramite: O2O 29/08/2018

29 agosto 2018, 03:15

Difficoltà:facile

La geometria è un ramo della matematica in cui vengono applicate diverse formule per lo studio dell'area, del perimetro e del volume delle figure geometriche; le figure geometriche possono essere piane e solide. Delle figure piane ricordiamo: il quadrato, il rettangolo, il triangolo, il rombo, il parallelepipedo, il trapezio ecc. Delle figure solide invece, ricordiamo: il cubo, la sfera, il cono, l'esaedro ecc. In questa guida analizzeremo lo studio del cubo, che è una figura solida e impareremo come calcolarne la superficie.

Il cubo è un solido definibile come prisma retto con base quadrata ed altezza pari allo spigolo della base; è un caso particolare di prisma e per questo è definibile come esaedro regolare, il prefisso esa- in greco indica che questo solido ha sei facce ed inoltre ognuna delle sei facce è congruente alle altre. Ad ogni vertice si incontrano ben tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; inoltre, in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a due a due ortogonali. L'area della superficie di un cubo è data dalla somma delle aree di sei quadrati identici che lo compongono. Ecco dunque come calcolare l'area della superficie di un cubo.

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Particolarità del cubo

È uno dei 5 solidi platonici che presenta facce, 8 vertici e 12 spigoli, ed è l'unico solido platonico ad avere facce con un numero pari di lati.
Il poliedro duale del cubo è l'ottaedro.
È possibile definire il cubo come un parallelepipedo rettangolo che ha come facce quadrati con lo stesso lato, di conseguenza in ciascun vertice si incontrano 3 facce tra loro perpendicolari.

La prima ipotesi è la seguente: vediamo come calcolare la superficie totale del cubo conoscendo il valore di un suo spigolo. Con il termine "spigolo" andiamo ad indicare il lato di un quadrato e lo chiameremo L. Per prima cosa calcoliamo l'area della base ( noi sappiamo che la base di un cubo è sempre un quadrato di lato L) , questo si ottiene moltiplicando lo spigolo al quadrato, esattamente come se fosse base per altezza. S=L2 Calcoliamo poi la superficie laterale composta da 4 quadrati di lato L che si ottiene moltiplicando per 4 il lato alla seconda di conseguenza avremo S =4L2 Ottenute queste due formule per calcolare la superficie totale basterà sommarle e di conseguenza S_totale = 6 L2 Di facile deduzione, avendo il cubo 6 facce identiche di conseguenza è moltiplicando per 6 il valore della superficie di una faccia (lato x lato) che otterremo la superficie totale.

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Area con diagonale conosciuta

Calcoliamo l'area del cubo conoscendo il valore della diagonale di una faccia.La diagonale è facilmente ricavabile anche dalla sola conoscenza del lato L infatti per trovarla basta moltiplicare il L per radice di 3.
Il quadrato che compone la faccia di un cubo può anche essere considerato un rombo particolare in cui i lati sono tutti uguali e le diagonali sono identiche tra loro. Quindi possiamo calcolare l'area del quadrato applicando semplicemente la formula dell'area del rombo: diagonale per diagonale diviso tre. Avendo ottenuta l'area di una faccia non ci resta altro da fare che moltiplicare per sei.

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Area con volume conosciuto

Nello specifico vediamo come calcolare l'area del cubo conoscendo solo ed esclusivamente il valore del volume del cubo.
Partendo da questo sarà molto semplice calcolare il valore di un singolo lato facendo la radice cubica del volume (cioè la radice terza).
Ottenuto lo spigolo non ci resta che calcolare semplicemente l'area della superficie del cubo quindi calcoliamo l'area di una faccia. Ottenuta l'area moltiplichiamola per sei ottenendo così il valore dell'area della superficie del cubo.

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